曹宏举 何素艳 郭巧丽
［摘 要］目前，概率论与数理统计课程思政相关研究较少。文章从概率论与数理统计课程思政应遵循的碎片化、衔接性、融合性等原则出发，提出了在课程教学中融入马克思主义哲学原理知识、爱国主义、中华优秀传统文化、科学知识应用等教育内容的建议，以期为高校概率论与数理统计课程思政教学提供参考。
［关键词］概率论与数理统计；
课程思政；
浸入式；
教学实践
［中图分类号］ G642.0 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 2095-3437（2023）04-0116-03
党的十八大召开以来，围绕立德树人这一根本任务，习近平总书记就“培养什么人、怎样培养人、为谁培养人”这一根本性问题做出了一系列的指示，为广大教师在新时代如何落实“为党育人、为国育才”的使命指明了方向。自此，课程思政的理念逐渐深入各个高校、院系和课程[1-4]，形成了蓬勃发展的课程思政研究态势。与此同时，课程思政的理念也在大学数学课程中得到重视[5-11]，但相关研究中，与概率论与数理统计课程相关的研究内容较少[9-11]。在此背景下，本文探讨概率论与数理统计课程思政实践具有现实意义。
一、概率论与数理统计开展课程思政的优势
（一）课程覆盖广
概率论与数理统计课程的授课对象涵盖理工、经管类专业的学生，并且伴随着大学文科数学的不断推广，课程的相关内容已经逐渐扩展到诸多文科专业，这使得该课程实施课程思政具有广泛的受众群体。
（二）时间节点好
习近平总书记在学校思想政治理论课教师座谈会上的讲话中强调：“青少年阶段是人生的‘拔节孕穗期，这一时期心智逐渐健全，思维进入最活跃状态，最需要精心引导和栽培。”[12]概率论与数理统计课程一般是大二第一学期开设，这个时间节点正是学生“拔节孕穗期”的关键阶段，部分学生与外界事物的接触增多，思想上可能会受到不良因素的影响，此时开展课程思政，可以及时扶正学生的思想，更好地完成立德树人根本任务。
（三）切入点较多
概率论与数理统计课程思政教学的关键是找到合适的切入点。这种切入点在概率论与数理统计课程较容易发掘。对此问题，笔者将在本文的第三部分中进行详细介绍，因此在这里不再赘述。
二、概率论与数理统计浸入式课程思政教学的原则
（一）碎片化原则
概率论与数理统计课程思政是依托于该课程进行思政教育，不能试图用课程思政替代思政课程，不能在课程教学中追求思政教育的系统化，而只能把思政课程中某些碎片化的知识、原理等思政点和概率论与数理统计课程相融合。
（二）衔接性原则
概率论与数理统计课程思政要将思政元素与该课程中的知识点进行有效衔接，从而“润物细无声”地进行思政教育。
（三）融合性原则
概率论与数理统计课程思政要实现课程知识点与思政元素的相互融合，使之成为一个有机的整体，达到以专业知识促进学生对思政元素的信服，以思政元素促进学生对专业知识的理解，从而丰富教学内容、提升教学效果。
三、概率论与数理统计浸入式课程思政的实践
（一）在概率论与数理统计课程教学中融入马克思主义哲学原理知识
在概率论与数理统计课程的第一次课上，可以恩格斯的“历史事件似乎总的来说同样是由偶然性支配着的。但是，在表面上是偶然性在起作用的地方，这种偶然性始终是受内部的隐蔽着的规律支配的。而问题只是在于发现这些规律”[13]作为课程引入，因为这句话很好地诠释了概率论与数理统计课程的两大内容——概率论和数理统计。概率论侧重于介绍有什么规律，数理统计则侧重于阐述我们如何发现这些规律以及如何利用这些规律。同时，通过恩格斯的这句话，还可以进一步加深学生对偶然性和必然性的统一、偶然性由必然性所决定和必然性通过偶然性表现出来等哲学观点的认知。在后续的学习中，可以进一步引导学生将概率论与数理统计课程内容和马克思主义哲学原理相互印证，从而加深他们对专业知识的把握和对马克思主义哲学原理的认知。
（二）在概率论与数理统计课程教学中融入爱国主义教育
体育赛事，特别是国际大型体育赛事，是激发学生爱国主义热情的有效途径。在講解二项分布时，教师可通过中国乒乓球运动员取得的辉煌成绩引出随之而来的乒乓球运动改革：单项比赛由原来每局21分，缩减到每局11分；
用7局4胜替代了原来的5局3胜。这些措施增加了乒乓球比赛的偶然性，削弱了中国乒乓球队的相对实力，增加了其他国家球员获奖的可能性[14-15]。在讲解过程中，教师可首先抛出一个问题：如果只用7局4胜替代原来的5局3胜，每局分数不变，依然是21分，那么这样的改革对强队和弱队哪个更有利？并将此问题简化为如下两个小问题。
先提出第一个小问题。假设甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局甲胜的概率为[p]，其中[p>0.5]，假设各局胜负相互独立，则对甲而言，采用5局3胜制有利，还是采用7局4胜制有利？由此引发学生的思考，并引导学生结合两项分布进行分析。
在5局3胜制中，甲获胜的情况为3∶0、3∶1或3∶2。3∶0，即前3局甲全部获胜，甲以此比分获胜利的概率为[p3]；
3∶1，即前3局甲胜2局、乙胜1局，并且第4局甲胜，甲以此比分获得胜利的概率为[C23p2（1-p）p=3p3（1-p）]；
3∶2，表示前4局甲乙各胜2局，第5局甲获胜，甲以此比分获胜的概率为[C24p2（1-p）2p=6p3（1-p）2]。因此，5局3胜制中甲获胜的概率为[p1=p3+3p3（1-p）+6p3（1-p）2]。
类似可得，在7局4胜制中，甲获胜的概率为[p2=p4+4p4（1-p）+10p4（1-p）2+20p4（1-p）3]。
比较5局3胜制和7局4胜制中甲获胜的概率，即得[p2-p1=10p3（1-p）3（2p-1）]，当[p>0.5]时，[p2-p1>0]，即7局4胜制下甲比乙获胜的概率大；
当[p<0.5]时，[p2-p1<0]，即5局3胜制下乙比甲获胜的概率大；
当[p=0.5]时，[p2-p1=0]，即两种赛制对甲获胜的情况没有影响。因此，如果只是将5局3胜制调整成7局4胜制，每局的分数保持不变，则对强队更有利。
基于以上分析，教师再抛出第二个小问题。7局4胜制替代了原来的5局3胜制是否违背了乒乓球运动改革的初衷？如何破解这个问题？可引导学生结合“单项比赛由原来每局21分，缩减到每局11分”进行思考，并及时补充课下阅读材料[15]。
通过分析总结，引导学生思考中国乒乓球运动长兴不衰的原因，如群众基础好、国内乒超联赛成熟、举国体制等，激发学生对集中力量办大事的社会主义制度优势的认同。
事件的独立性，是概率论与数理统计课程中的一个重要概念。教育部高等学校数学与统计学教学指导委员会在2004年10月发布的《工科类本科数学基础课程教学基本要求》中，对事件的独立性的教学要求是“理解事件的独立性的概念”；
《2021年考研数学（一）大纲》和《考研数学（三）大纲》对事件的独立性的要求都是“理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算的方法”。由此可见，两者对事件的独立性的要求还是比较高的。在讲解事件的独立性时，教师可以引用成语和谚语[16]，如“百发百中”“智者千虑，必有一失”“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”“不要把鸡蛋放在同一个篮子里”等，结合事件的独立性进行相关概率计算。
如对“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，可以结合事件的独立性分析如下。先抛出问题：假设三个皮匠[A、B]和[C]，他们各自单独解决某问题的概率分别为0.45、0.55、0.60，而诸葛亮单独解决某问题的概率为0.90，显然三个皮匠中的任何一人在单独的情况下都不如诸葛亮解决问题的能力大，可如果这3个皮匠联合起来有没有可能顶得上诸葛亮呢？
利用事件的独立性进行分析：假设这三个皮匠运用各自的智慧独立解决该问题，并且这三个人只要有一个人能够把问题解决，则该问题被解决。用[A、B、C]分别表示皮匠[A、B、C]独立解决该问题，[D]表述诸葛亮解决该问题，[E]表示问题被皮匠解决，则
[P（A）=0.45]，[P（B）=0.55]，[P（C）=0.60]，[P（D）=0.90]，且[E=A∪B∪C]，
结合事件的独立性与概率的运算性质，知：
[P（E）=P（A∪B∪C）]
[=P（ABC）=P（A）P（B）P（C）=0.099]，有[P（E）=]
[1-P（E）=0.901>P（D）]，即表示三个智商一般的皮匠通过团结协作以0.001的微弱优势胜过智商超群的诸葛亮。
这样教学，一方面可以加深学生对于事件的独立性的理解，另一方面也可以让学生更深刻地理解中华优秀传统文化中所蕴含的科学道理，从而增强学生的文化自信。另外，还可以结合谚语或成语，对学生进行其他方面的教育，如结合“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”就可以对学生进行团队意识和合作精神的教育。
（四）在概率论与数理统计课程教学中融入科学知识应用教育
在讲解数学期望时，教师可将混样检测[17]作为期望应用的案例，以加深学生对于数学期望应用的理解。如在进行新冠核酸检测时，经常是10个人一组进行混样检测，这主要利用的就是数学期望知识点。因此，将核酸混样检测背后的数学原理進行讲解[18]，既可以加深学生对于数学知识应用的认识，也可以使学生理解核酸混样检测背后的科学知识，培养学生积极利用所学知识解决科学问题的主动性。
对于协方差，教材一般多是介绍协方差的定义、公式和性质，以及一些简单计算，有关协方差的应用往往就不予介绍，这就使得学生认识不到协方差的应用。笔者在讲课时，一般都会讲解高光谱图像异常检测时的经典算法RXD算法[19]，该算法的异常检测器为[δ（r）=（r-μ）TK-1（r-μ）]，其中的[K]为协方差矩阵，[μ]为像元向量的均值，[r]为待检测像元向量。通过讲解，学生了解了协方差矩阵在前沿科技中的应用。同时，在时间充裕的情况下还可简要介绍我国的高分卫星一号到七号的巨大成就，激发学生的民族自豪感，坚定将来投身国家建设的决心，从而自觉地把自己的学习放在国家发展的大背景下，增强努力学习的使命感和责任感。
四、结语
习近平总书记在学校思想政治理论课教师座谈会上的讲话中要求“坚持显性教育和隐性教育相统一”，强调“挖掘其他课程和教学方式中蕴含的思想政治教育资源，实现全员全程全方位育人”[20]。这为我们在概率论与数理统计中开展浸入式课程思政提供了指导。
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［责任编辑：钟 岚］
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